Диофантовы уравнения (метод квадратов)

Можно назвать по другому, как втискивание большого в малое и т.д.

Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задачи для самостоятельного решения

Задача 1: Решить уравнение `x^2+x+1=y^2`, где `x,y in NN`.

Решение:
`x^2+x+1>x^2` `AA x in NN => y^2>x^2=>y>x`

`(x+1)^2=x^2+2x+1>x^2+x+1` `AAx in NN => y^2<(x+1)^2=>y<x+1`

Итак: `x<y<x+1`, т.е. целое число `y` находится между двумя последовательными целыми числами `x` и `x+1`, что невозможно, поэтому натуральных решений нет.

#1

Задача 2: Решить уравнение `x^6+3x^3+1=y^4` в целых числах.

Решение:
Пусть `x,y in ZZ` - решение нашего уравнения. Предположим, что `x>=0`.
Тогда получаем: `(x^3+1)^2=x^6+2x^3+1<x^6+3x^3+1=y^4=>x^3+1<y^2`
С другой стороны: `y^4=x^6+3x^3+1<x^6+4x^3+4=(x^3+2)^2=>y^2<x^3+2`

Итак, `x^3+1<y^2<x^3+2=>` `O/`

Теперь, симметрично отобразим это для других случаев, когда `x<=0`.

Пусть `x<=-2=>x^3+3<0`
Аналогично: `(x^3+2)^2=x^6+4x^3+4<x^6+3x^3+1<x^6+2x^3+1=(x^3+1)^2`,
`(x^3+2)^2<y^4<(x^3+1)^2=>|x^3+2|<y^2<|x^3+1|=>-(x^3+2)<y^2<-(x^3+1)=>` `O/`

Осталось проверить при `x=-1;0`.
`x=-1=>y^4=-1` `O/`
`x=0=>y^4=1=>y=\pm 1`.

Искомые пары решений: `(0;\pm 1)`.

#2

Задача 3: Решить уравнение `x^2+xy+y^2=x^2y^2`

Решение:
Пусть `x,y in ZZ` - решение уравнения. Тогда `x^2+xy+y^2+xy=x^2y^2+xy`,
`(x+y)^2=xy(xy+1)=>|x+y|=sqrt(xy(xy+1))`.

Если `xy>0=>(xy+1)^2>xy(xy+1)>(xy)^2=>xy+1>sqrt(xy(xy+1))>xy`,
Итак, `xy+1>|x+y|>xy=>` `O/`

Аналогично, если `xy<-1`, то
`-xy-1<sqrt(xy(xy+1))<-xy=>|x+y|!inZZ=>` `O/`

Осталось проверить при `xy=-1;0`.
Т.к. `(x+y)^2=xy(xy+1)=>` в обоих случаях `x+y=0`. Таким образом, все искомые пары: `x=y=0;x=-y=\pm 1`.
Ответ: `(0;0),(-1;1),(1;-1)`.

#3

Задача 4: Решить уравнение `x(x+1)(x+7)(x+8)=y^2` в целых числах.

Подсказка: Перемножить крайние и средние скобки.

Задача 5: Решить уравнение `(x+2)^4-x^4=y^3` в целых числах.

Подсказка: Использовать четность `y`.

#4

Задача 6: Решить в целых числах уравнение
`y^2=1+x+x^2+x^3+x^4`.

#5

Задача 7:
Докажите, что `n^4+2n^3+2n^2+1` не является квадратом натурального числа ни при каких натуральных `n`.

#6

Задача 8

Пусть `a,b in NN`. Найти, при каких `a,b` выражение
`a^2/(2ab^2-b^3+1)` принимает натуральные значения.