Олимпиадная задача, помогите

Jane1592 писал(а):
Известно, что сумма 3-ёх натуральных чисел рвна 939. На какое наибольшее число нулей может оканчиваться десятичная запись произведения этих 3-ёх чисел?

и последняя)


на 7 нулей)
пример: 250,64,625
#1
спасибо)
#2
помогите решить пожалуйста и желательно с подробным решением
найдите все простые числа p, для которых существуют такие целые положительные числа m и n, что `p^m-1=n^3`
#3
Цитата:
на 7 нулей)
пример: 250,64,625

*чтоб произведение заканчивалось нулем нужно, чтобы в состав его множителей входили степени 2 и 5.
5^5>939
5^4=625
поэтому максимально возможная степень 5 для первого числа - 4
939-625=314
максимальная возможное количество 5 для второго числа 3
5^3=125<314<625=5^4
при єтом нам нужны еще двойки
поэтому 625, 125, 189 (189=939-625-125)(не подходит мало двоек)
берем 625, 250, 64 (7 пятерок, 7 двоек)
таким образом большего числа нулей в произведении чем 7 быть не может хDD*
#4
Рассматриваются 250 квадратных уравнений вида x2+px+q=0, где p пробегает целые значения от 1 до 10, а q - целые значения от 1 до 25. Каких уравнений среди них больше: тех, у которых есть 2 корня или тех, у которых корней нет?
#5
уравнений у которых один корень кратности два (или два одинаковых корня)будет
4 штуки, а именно.
`x^2+2x+1=0, x^2+4x+4=0, x^2+6x+9=0, x^2+10x+25=0`

уравнений у которых нет корней, (уравнений, у которых дискриминант меньше `0`, т.е. `p^2-4*q<0`, `p^2 /4 <q`), разбив на случаи в зависимости от значения `p` , получим что соответственно значений `q` будет:
`p=1`, `1/4<q` ,`25` значений `q`
`p=2`, `1<q` ,`24` значений `q`
`p=3`, `2.25=9/4<q` ,`23` значений `q`
`p=4`, `4<q` ,`21` значений `q`
`p=5`, `6.25=25/4<q` ,`19` значений `q`
`p=6`, `9<q` ,`16` значений `q`
`p=7`, `12.25=49/4<q` ,`13` значений `q`
`p=8`, `16<q` ,`9` значений `q`
`p=9`, `20.25=81/4<q` ,`5` значений `q`
`p=10`, `25<q` ,`0` значений `q`
а всего 25+24+23+21+19+16+13+9+5+0=`155` уравнений

стало быть уравнений у которых будет два разных корня будет 250-155-4=`91`

значит среди рассматриваемых уравнений больше тех, у которых корней нет
#6
only писал(а):
найдите все простые числа p, для которых существуют такие целые положительные числа m и n, что `p^m-1=n^3`


Очевидно, `n-=-1(modp)`, т.е. при делении на `p` дает остаток -1. Запишем `n` в виде `n=-1+p^s*t`, `s>=1, (p,t)=1`, т.е. `t` не делится на `p`. Тогда `n^3=-1+3p^s*t-3p^(2s)*t^2+p^(3s)*t^3` и значит, `p^m=p^s*t*(3-3p^s*t+p^(2s)*t^2)`. Отсюда очевидны 3 вещи: 1) `t=1` (л.ч. не может делиться ни на что, кроме `p`); 2)`p=3` (поскольку скобка в п.ч. делится на `p` и все ее слагаемые, кроме 1-го делятся на `p`); 3) `s=1` (иначе скобка в п.ч. не равна 3 и будет иметь еще делитель, отличный от 3).
Значит, `n=2, p=3, m=2`.
#7
Цитата:
prodinator

кажись пропущено решение `p=2`, `m=n=1`
#8
Три велосипедиста выехали одновременно: первый и второй - из пункта А, третий навстречу им из пункта В. Через 1,5 часа первый велосипедист был на равном расстоянии от двух других, а через 2 ч третий велосипедист был на равном расстоянии от первого и второго. Через какое время второй находился на равном расстоянии от первого и третьего?
#9
вот задачи:
1) Сколько различных значений можно получить, расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2:3:5:7:11:13:17:19:23:29?
2)сколько различных пар вещественных чисел (х,у) удовлетворяют уравнению (х+у)^2=(x+3)(y-3)?
3)две стороны треугольника равны а и b. Найдите третью сторону треугольника если его угол, лежащий против третьей стороны, в два раза больше угла, лежащего против стороны, равной b?
4)на боковых гранях куба расставлены натуральные числа, а в каждой вершине написано число, равное произведению чисел на трех прилегающих к этой вершине гранях. Сумма чисел в вершинах равна 70. Какова сумма чисел на гранях?
5)от двух кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6кг и 12кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатками другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?
6)разглядывая 6 одинаковых монет, которые лежат на столе и не касаются друг друга, Вася обнаружил, что некоторые из них "заперты": никакую из них нельзя сдвинуть со стола, не задевая других монет. Какое наибольшее количество"запертых" монет он мог увидеть?
7)дана окружность с центром в точке О радиуса 1. На её диаметре АВ выбрали точку М и провели через неё СD под углом 45градусов к диаметру. найти СМ^2+DM^2
8)сколькими способами можно замостить прямоугольник 2*8 неперекрывающимися доминошками 1*2?
буду безумно благодарен!
#10
Решила 2 самые простые обычные "несмекалистые" задачи
3) `sqrt(b^2+ab)`

5) 4 кг.
Решение писать не хочу: долго. Ну, и олимпиада же. Наверняка дает какие-нибудь бонусы.
#11
Еще несколько соображений. Полные решения все же пробуй найти сам.
1) При любой расстановке скобок получится некая обыкновенная дробь, в числителе и знаменателе которой будут данные простые числа. Важно понять, какие из них могут попасть в числитель и знаменатель. Надо доказать вот что:
- 2 может быть только в числителе, а 3 - только в знаменателе;
- остальные числа можно произвольным образом расположить и там и там.
Дальше - чистая комбинаторика. Ответ - 256.
2). Обозначь `a=x+3, b=y-3`. Остальное просто.
4). Обозначь числа на гранях шестью буквами. Преобразуй (сгруппируй) сумму 8 тройных произведений в произведение трех скобок. Используй единственность разложения 70. Ответ - 14.
6). Ответ - 3. Доказательство весьма нетривиально.
7). Рассмотри частный случай, когда точка М лежит в центре окружности. Потом надо доказать, что указанная сумма квадратов не зависит от положения точки М. Ответ - 2.
8). Идея рекурсии. Рассмотрим полосу 2хn и обозначим T(n) число способов укладывания доминошек 1х2. Не очень сложно доказать, что `T(n)=T(n-1)+T(n-2)`. Остается непосредственно понять, что `T(1)=1, T(2)=2`.
#12
ок! спасибо ;)
#13
Докажите, что уравнение x^2012+2x^2-11^1/2x+2=0 не имеет действительных корней
#14
Тангенс угла при основании равнобедренного треугольника равен 3/4. Найти тангенс угла между медианой и биссектрисой, проведенными к боковой стороне.
1, 2, 3  
cron