помогите решить задачу С4 В10 из ЕГЭ 2010 Семёнов, Ященко

на боковых сторонах АВ и CD трапеции с основаниями AD и BC отмечены точки P и Q соответственно, причём PQ параллельна AD. Прямая PQ разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 1:2. найдите PQ, если AD=a и BC=b.

#1

2 случая:
1) S(PBCQ)=x, S(APQD)=2x
2) S(PBCQ)=2x, S(APQD)=x

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке М. Т.к BC||PQ||AD, то соответствующие треугольники подобны, а отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
Рассмотрим первый случай:
См. рисунок

PMQ~BMC => `(y+x)/y=t^2/a^2 iff 1+x/y=t^2/a^2 iff x/y=t^2/a^2-1`

AMD~BMC => `(y+3x)/y=b^2/a^2 iff 3x/y=b^2/a^2-1`

`3(t^2/a^2-1)=b^2/a^2-1 iff t^2=(2a^2+b^2)/3 iff t=sqrt((2a^2+b^2)/3)`

для второго случая получим `t=sqrt((a^2+2b^2)/3)`

13.07.jpg [7.13 Кб]
Скачиваний: 0

#2

огромное спасибо за красивое решение!