Решение уравнений и неравенств с параметрами (С5)

Тут будут складироваться наиболее крутые задачи из С5 (уравнения и неравенства с параметрами), чисто на прокачку мозгов и 110% готовности к С5. Задачи в теме только мои, чужие буду выкидывать, к каждому будет добавлено решение. Можете предлагать свои решения, для проверки и указания слабых мест.
Всего штук 50-100 задач.

Конечно же к этой теме будет приложена и другая новая тема, где будут методы решения уравнений и неравенств с параметрами, примеры задач на параметры и прочее. Темы постепенно будут связываться.

xXx писал(а):
логарифмы с основанием 11, правильно написаны?

В этой теме писать ТОЛЬКО если есть веские основания или полные (само-проверенные) решения. Или дополнения и комментарии к задачам от экспертов.

Исключаются комментарии типа:
| +
  • Куда я попал?
  • Что такое логарифм?
  • А может там не 11? (можно, если есть ВЕСКИЕ основания)
  • Ответ такой: 227 - правильно?
  • Ояебу!
  • Хуяссе!
  • Пчолы!
  • Говорят, Гидрометцентр закрывается на следующей неделе и погоды теперь не будет!
  • Мне кажется, что тебе кажется, что ты подумал, что мне показалось, что здесь будет так, а потом сяк.

| +
Как научиться решать уравнения с параметром? Очень просто - изучить два топика. Этот и топик по теории. Раскроем все способы решения уравнений и неравенств с параметрами. Предполагается все решения задач с параметрами оформить в PDF файл - можно будет скачать (бесплатно! ;) ). О, SEO!, как же ты меня утомил!!! :(


17 мар 2010, 22:07
#1
Первая крутая задачСколько решений, удовлетворяющих заданным ограничениям, имеет уравнение в зависимости от `a`
`4x^2-2x+a=0, |x|<=1.`


Сложность: 3 (из 5)

Темы: квадратный трехчлен, графический метод решения, дополнительное ограничение на корни.

Блок-схема
Схема графического решения


17 мар 2010, 22:09
#2
Задача 2Найти все значения параметра `p`, при которых уравнение
`8^x-18*4^x+15*2^(x+2)=p`
имеет ровно два различных корня.


Сложность: 2

Темы: исследование функций.

Схема решения


19 мар 2010, 15:06
#3
Задача 3Найти длину промежутка значений `p`, для каждого из которых хотя бы одно число `x in [a;b]` является решением неравенства `|x-p|<=c`.


Сложность: 1

Темы: попадание хотя бы одной точки из заданного интервала в интервал решений.

Решение
Комментарии


19 мар 2010, 15:13
#4
Задача 4Найти сумму всех различных значений параметра `p`, при которых уравнение `(p^2-3p+1)x^2+2(8p+2)x+65=0` имеет единственный корень.


Сложность: 1+

Темы: квадратный трехчлен, теорема Виета.

Решение


19 мар 2010, 15:16
#5
Задача 5При всех `n, m in NN` найдите необходимые и достаточные условия на параметры `a>0, b>0` и `T`, при которых уравнение
`ax^(2n+1)+b/(x^(2m-1))=T`,
имеет единственный корень и найдите его.


Сложность: 3-

Темы: исследование функций, схематическое построение графика функции.

Схема решения


19 мар 2010, 15:40
#6
Задача 6Найти все значения параметра `p`, при которых для любых `x` выполняется нер-во

`(4x+3)^2+p(4x+3)(x^2+1)+(2p+1)(x^2+1)^2>0`


Сложность: 2+

Темы: однородные неравенства, квадратный трехчлен, исследование функций, заданное условие на решения неравенства.


20 мар 2010, 12:58
#7
Задача 7Пусть `a>1` и `b>1`. Найдите, при каких значениях параметра `p` уравнение
`a^x=p*b^(1/x)`,
имеет наименьший корень `x_min>=-1`.


Сложность: 3

Темы: исследование функций


20 мар 2010, 15:23
#8
Задача 8При всех значениях параметров `a, b, c` решить уравнение
`ax^2+bx+c=0`.


Сложность: 1+

Темы: выделение полного квадрата, рассмотрение особых случаев, линейные параметрические уравнения


21 мар 2010, 05:01
#9
Задача 9При всех значениях параметра `a` решить неравенство
`log_((a^2+x^2)/2)x>=1`.


Сложность: 2

Темы: графический метод решения


21 мар 2010, 06:04
#10
Задача 10При всех значениях параметра `a` решить неравенство
`sqrt(a^2-x^2)>x+1`.


Сложность: 2

Темы: графический метод решения


21 мар 2010, 06:06
#11
Задача 11При всех значениях параметра `a` решить уравнение
`(1+(a+2)^2)log_3(2x-x^2)+(1+(3a-1)^2)log_11(1-x/2)^2=log_3(2x-x^2)+log_11(1-x^2/2)`.


Сложность: 3

Темы: многабукафф, метод мажорант


21 мар 2010, 06:09
1, 2  →